Reuben Hersch, Cos’è davvero la matematica?

Gian-Carlo Rota, Pensieri indiscreti

(*) Facciamo finta che tu sia un matematico con una certa esperienza e autonomia, e che tu stia lavorando per cercare di ottenere risultati originali. In questo caso avrai passato almeno una decina d’anni (forse anche meno, o anche molto di più) a studiare cosa è stato fatto prima di te e avrai approfondito una certa tematica. In pratica, molto probabilmente, insieme a un bagaglio generale di strumenti matematici, conoscerai in modo approfondito solo un piccolo insieme di concetti e risultati avanzati che costituiscono il quadro in cui si colloca la problematica che stai affrontando in questo momento. A questo punto, se sei abbastanza bravo e dotato di spirito critico, ti accorgerai che intorno a te ci sono alcune domande a cui nessuno sa rispondere, tipo: esiste una soluzione globale per le equazioni di Greenberg-Alt a dati grandi? Oppure: qual è la struttura dei gruppi localmente compatti? O ancora: è possibile trovare un algoritmo polinomiale per sapere se un dato grafo si può colorare con soli 3 colori? Alcune domande già circolano nell’ambiente matematico, a volte da tantissimo tempo [tipo la congettura di Poincaré, risolta solo pochi anni fa, o l'ipotesi di Riemann, di cui sei vivamente sconsigliato di occuparti], ma in certi casi sarai tu a formulare una nuova domanda. Studiando i lavori di qualche collega, o ancora meglio chiacchierando con lei/lui al bar o via Skype [meglio al bar], ti accorgerai che forse su quel problema è possibile ottenere un nuovo risultato, forse non la risposta alla domanda iniziale, ma comunque un qualche cosa di originale e interessante. Una volta individuato il problema e un’idea di base per cercare di risolverlo, e già per questo ti ci vorrà una buona dose di intuito e fantasia, il tuo secondo passo consisterà nel cercare di trovare delle risposte matematiche. In pratica cercherai di vedere/intuire dei risultati[=affermazioni che dicano qualche cosa di nuovo sul problema] che potrebbero essere veri, magari sotto certe condizioni [potresti immaginare per esempio di voler dimostrare che per una certa classe di condizioni iniziali, una certa equazione abbia una soluzione che rimane regolare e limitata]. Tutta questa parte è in qualche modo preliminare, bisogna capire cosa è credibile e cosa non lo è [magari qualcuno ha già dimostrato che una certa cosa è impossibile], ma per il momento non starai ancora cercando di dimostrare veramente qualche cosa, starai solo delineando il percorso e le mete possibilmente raggiungibili. È solo a questo punto che comincerai a pensare alla dimostrazione, ossia a cercare di concatenare una serie di argomenti che giustifichino in modo plausibile quanto hai immaginato. In realtà è difficile separare completamente le due fasi. Di solito mentre ragioni e sviluppi la percezione del problema, cerchi anche di immaginarti come una certa cosa possa essere dimostrata, e a volte è proprio il tentativo di dimostrare rigorosamente una certa affermazione che ti porta ad una nuova domanda che a volte è anche più interessante della precedente. In certi casi il problema lo hai metabolizzato molto tempo prima e poi, per caso, ti imbatti in una tecnica dimostrativa applicata ad un problema completamente diverso che ti permette di trovare la soluzione del tuo.

Insomma, se hai lavorato bene, a un certo punto entri in una fase in cui sei riuscito a mettere insieme una certa quantità di enunciati nuovi, che chiamerai Teoremi, e hai trovato quella che ti sembra la giusta combinazione di argomenti convincenti a sostegno della loro veridicità, che è quello che poi formerà la tua dimostrazione. A questo punto puoi fare varie cose. La prima è quella di scrivere una prima bozza abbastanza completa in cui cerchi di dettagliare a fondo tutti gli argomenti che ti hanno convinto, cercando di non avere “buchi”. Allo stesso tempo cercherai di raccontare il risultato a qualche collega con cui, se sei fortunato, controllerete alcuni dei passaggi che ti lasciano più perplessi [tu: "e qui uso il fatto che qualsiasi numero primo si può scrivere come prodotto di numeri pari..." collega: "?#!!@???"]. Magari racconterai il risultato a qualche convegno, per capire l’interesse che suscita negli altri [collega: "ehi, avevo proprio bisogno di farmi una bella dormita..."]. A questo punto sarai pronto per scrivere il lavoro vero e proprio, una cosa che, se siamo nelle ipotesi di partenza [esperienza, autonomia, etc...] dovresti avere già imparato a fare in modo ragionevole [ma ti costerà sempre molta fatica]. E poi? Che ci fai con il tuo articolo? In teoria potresti limitarti a fare come Perelman, ossia pubblicare il tuo lavoro in una pagina web, o in un archivio pubblico su internet, e aspettare commenti. Questo va anche bene, ma se cerchi lavoro o lavori già in una qualche istituzione, e poi ricordati che tu-non-sei-Perelman, allora farai meglio ad inviarlo a una qualche rivista di matematica, che in qualche modo sancisca ufficialmente il tuo risultato. Ce ne sono tante, ma tu ne selezionerai una che pensi possa essere al livello del tuo lavoro [perché pubblica articoli simili, perché citi un articolo apparso nella stessa rivista, perché uno dei membri del comitato editoriale è tuo "cuggino"...] e a cui spedirai il manoscritto. La rivista si preoccuperà allora di mandare il testo ad un paio di revisori anonimi, che essenzialmente sono lì per a) trovare i tuoi errori marchiani; b) capire se non stai riscoprendo l’acqua calda; c) scoprire se non stai malamente copiando da qualcun’altro; d) se si capisce cosa vuoi dire, citi adeguatamente i contributi dei colleghi che ti hanno preceduto, tra cui lo stesso revisore, etc… [ok, in linea di principio questi revisori, o referees, potrebbero anche essere i tuoi peggiori nemici, o al contrario i tuoi amati compagni di banco, ma per ora non entriamo in questo dettaglio sociologico].

Concentriamoci sul punto a), che è quello che ci interessa per il momento. Facciamo allora che sia io il revisore del tuo articolo. Ho accettato di valutare il tuo lavoro e non ne avevo proprio voglia. Ne ho altri cinque che aspettano e una Tesi da correggere, e ci sarebbero anche i miei di lavori. Ma insomma, citavi un paio dei miei articoli e il risultato finale non è poi così male, e poi quella volta al bar l’idea te l’ho un po’ suggerita io, e insomma ho accettato. E ora sono in ritardo con la consegna del rapporto. Mi hanno dato due mesi, e io mi sono ridotto all’ultimo fine settimana per mettermi a scrivere cosa penso del tuo maledetto articolo. Per prima cosa me lo leggo, correggo un po’ l’inglese, cerco di capire cosa hai fatto veramente, e dove invece hai solo ripreso lavori precedenti. Ma insomma, a un certo punto enunci un “Teorema principale” che sembra il nocciolo del tuo lavoro, e questa dimostrazione devo proprio leggermela. Intanto rifletto se la conclusione mi convince, e controllo sui Mathematical Reviews e su Google Scholar che il risultato sia veramente originale. Poi però, una volta appurato che l’enunciato è interessante e nuovo, e che se fosse vero meriterebbe di essere pubblicato [N.B.: non tutti i risultati veri meritano di essere pubblicati. Alcuni sono solo esercizi che non aggiungono nulla alle nostre conoscenze], devo decidere se la dimostrazione alla fine è giusta o no. Certo, potrei fidarmi di te e accettarlo così. Ma sbaglierei. A parte i casi di Hilbert e Cauchy, mi viene in mente il caso clamoroso del famoso matematico H. Rademacher che credette nel 1945 di aver dimostrato l’ipotesi di Riemann, e a cui dedicarono pure un articolo su Time [ma si sbagliava]. E una volta mi capitò un lavoro di un tizio che usava un teorema che aveva dimostrato in un altro articolo, peraltro già pubblicato, e mi sembrava strano, e poi, andando a leggere l’altro articolo, c’era un’errore nella seconda riga della dimostrazione principale. Insomma, mi tocca proprio leggere fino in fondo la tua dimostrazione. Ed è lunghissima [ma dove hai trovato il tempo di fare tutte queste stime?], e anche se mi dicono che sarei la persona più qualificata per capire se è vero o no, è domenica sera, vorrei andare a letto e ancora ci sono svariate pagine di conti davanti a me. Mi perdo un po’ tra le disguaglianze e mi chiedo se ci sarà mai un giorno in cui un computer farà questo lavoro ingrato al posto mio [blink! errore! blink! errore!].

di Roberto Natalini

(*) Questo post è una possibile continuazione dei due precedenti: Vedi alla voce: errore (parte I), Vedi alla voce: errore (parte II).