La scienza ci chiede di negare l’evidenza sensoriale. Vediamo il sole muoversi attraverso il cielo e diciamo no, no, no, il sole non si sta muovendo, siamo noi a muoverci, noi a muoverci, noi.
Don DeLillo, La Stella di Ratner.

                                                                                                                                                            Roma 21 02 2012 amoR.
Sono sul ciglio della strada, il Raccordo Anulare di Roma, tra l’uscita 24 (Ardeatina) e la 23 (Appia), e armeggio con il touchscreen di un Autovelox 105 SE  che sono  riuscito a procurarmi usato su Ebay. L’aggeggio se ne sta lì sul suo treppiede, e comunica i dati tramite bluetooth al computer portatile che riposa tranquillo sul sedile posteriore della mia macchina. Per misurare la velocità dei veicoli, l’aggeggio usa un raggio laser di Classe 1 (<0,04 mW) che viene inviato parecchie migliaia di volte al secondo e determina così la distanza del veicolo istante per istante e quindi la sua velocità=(differenza tra le varie distanze)/tempo. Tecnicamente misura quella che si chiama velocità media. La velocità istantanea sarebbe il limite che si otterrebbe quando l’intervallo di tempo tra un impulso e l’altro del laser tende a zero, ma coincide in pratica con la velocità media se la macchina non effettua accelerazioni improvvise nell’intervallo tra un impulso e l’altro.Il cielo è grigio e l’umidità sembra condensarsi ovunque mentre i dati si accumulano, lentamente, sul computer. I miei collaboratori sono piazzati in altri punti del raccordo per compiere le mie stesse operazioni. Fa freddo e vorrei tornarmene a casa e mi chiedo chi me lo faccia fare di sottopormi a questa faticaccia. In fondo sono solo un matematico, no? (A questo punto si sente quel classico rumore tipo effetto doppler “blblblblbllblblblblblb“, che contrassegna nei film l’inizio di un flashback). Dovendo trovare un punto di inizio a questa storia, lo piazzerei nel 1955, con la pubblicazione del fascicolo dei Proceedings of the Royal Society of London contenente l’articolo di M. J. Lighthill e G. B. Whitham sulle onde di traffico su strade lunghe e affollate. In quegli anni il numero dei veicoli era molto aumentato e, per cercare di gestire le numerose situazioni di congestione del traffico che si presentavano quotidianamente, si cominciò a elaborare dei modelli che permettessero di prevedere la lunghezza delle code sulle autostrade e la sincronizzazione ottimale dei semafori. L’idea di Lighthill&Whitham era tutto sommato abbastanza semplice: trattiamo il flusso di veicoli come se fosse un liquido. Supponiamo di metterci su di una strada abbastanza lunga, senza incroci e possibilità di parcheggiare, per cui il numero totale N(t1) dei veicoli circolanti in un determinato tratto di strada e in un dato istante t1, sarà dato dallo stesso numero in un istante precedente t0 più la differenza tra  il flusso F(E_{(tra t0 e t1)}) delle macchine entrate nel tratto di strada e quello F(U_{(tra t0 e t1)})di quelle uscite nel periodo di tempo trascorso. Qualche cosa del tipo:

N(t1)=N(t0)+F(E(tra t0 e t1))-F(U(tra t0 e t1))

Partendo da questa identità di base, che non presuppone di conoscere cosa fanno nel dettaglio le singole vetture istante per istante, è possibile sviluppare un modello alle derivate parziali abbastanza realistico dell’evoluzione nel tempo della densità dei veicoli(=numero di veicoli per tratto di strada). Il punto critico di questo modello è nel riuscire a descrivere in modo realistico la velocità media dei veicoli in funzione della situazione del traffico. La cosa più semplice è quella di dire che in media questa velocità sarà data da una funzione descrescente della densità dei veicoli. Insomma, se non c’è nessuno, allora potremo andare alla massima velocità, rispettando ovviamente il limite imposto dal regolamento stradale in quel punto (per esempio 50 Km/h in città). Se ci sono altre macchine, la mia velocità verrà influenzata dalla loro presenza: più i veicoli saranno vicini tra loro e più sarò costretto a rallentare, fino a dovermi fermare quando i nostri paraurti saranno praticamente a contatto. Seindichiamo con ρ la densità di veicoli, allora il valore della velocità v in funzione di questa densità avrà un aspetto simile a quello della figura a sinistra qui in basso. Anche se la realtà è abbastanza diversa dalla teoria, il diagramma a destra mostra che i dati sperimentali non sono poi così lontani nell’andamento qualitativo.

Possibile diagramma delle velocità in funzione della densità dei veicoli (a sinistra) e i  corrispondenti  dati dei rilevamenti sperimentali sperimentali (a destra, in ordinata le velocità rilevate, in ascissa la corrispondente densità di veicoli).

Utilizzando dati sperimentali tipo quelli della figura qui sopra a destra, è possibile costruire funzioni più realistiche per la velocità in funzione della densità, che permettono di simulare flussi di traffico quantitativamente simili ai flussi reali e in ogni modo altri modelli (modelli del secondo ordine, transizioni di fasi, etc…) sono stati sviluppati nel corso degli anni per migliorare l’aderenza alla realtà. C’è però ancora un ostacolo, ed è quello costituito dal fatto che abbiamo ipotizzato di lavorare su di un tratto di strada isolato. In realtà le strade formano una rete molto ben interconnessa, con svincoli, incroci e rotatorie, ed si è posto quindi il problema di estendere la teoria precedente a questa nuova situazione. Questo lavoro è stato fatto da un gruppo di ricerca di matematici dell‘Istituto per le Applicazioni del Calcolo “M. Picone” del CNR a partire da alcuni lavori di Benedetto Piccoli (già Dirigente presso questo Istituto e attualmente professore presso la Rutger University negli USA) [per chi fosse interessato può essere utile consultare il libro di Benedetto, scritto in collaborazione con Mauro Garavello, "Traffic flow on networks" (ossia: Flussi di traffico su reti) dove tutta la storia che vi sto raccontando è descritta in dettaglio, ma anche, ammettiamolo, in uno stile un po' ostico per i non matematici]. Con questa nuova teoria è diventato di colpo possibile simulare un’intera rete con i modelli fluidodinamici. Qui sotto, per esempio, trovate cosa si può fare nel caso di un una rotatoria (quella di Piazza Re di Roma, a Roma) avendo stabilito certe regole di precendenza agli incroci. Nell’animazione sulla destra potete osservare come un flusso anche moderato sulle strade affluenti (30% del flusso massimo) possa in breve tempo creare delle code di congestione nella rotatoria e sulle stesse strade entranti (in viola e poi in blu molto scuro). Usando questo metodo si può ad esempio determinare quando e come una rotatoria con precedenza sia più conveniente di un semaforo.

Immagine della rotatoria di piazza Re di Roma (Roma) e simulazione animata corrispondente che utilizza il modello fluidodinamico su rete (preso da: G. Bretti – R. Natalini – B. Piccoli:Numerical Approximations of a Traffic Flow Model on Networks, “Networks and Heterogeneous Media”, vol. 1 (2006), pp. 57-84.)

Il punto cruciale di questa teoria, e in un certo senso anche il suo limite, è l’idea di assimilare i veicoli a particelle di un fluido. Magari è una bella immagine, ma non è completamente esente da critiche. Le molecole di acqua in un fiume, le proteine nel citoplasma, gli elettroni nella corrente elettrica, persino i bacilli di Koch che provocano la tubercolosi, sono tutti assolutamente indistinguibili. Visto uno, visti tutti. Li guardiamo scorrere e nessuno di loro può sfuggire al suo fato, mosso dalle leggi elementari che lo governano (ok, i batteri sono un po’ più complicati, ma rimangono sempre parecchio prevedibili, altrimenti non mangereste lo yogurt con tanta tranquillità). Invece, quando siete ben immersi in mezzo al traffico, la dinamica dei veicoli vi sembra molto meno necessaria. Ognuno sembra libero di poter fare quello che vuole, anche fermare la macchina in mezzo alla strada, scendere e continuare a piedi. Insomma, un modello fluido non è il modello matematico più naturale che possiate immaginare. E proprio per questo a molti studiosi piacciono modelli più “microscopici”, in cui a ogni veicolo si associa un’equazione diversa, a volte dividendo i veicoli in diverse tipologie e assegnando caratteristiche diverse a ognuna di esse (guidatori prudenti o frettolosi, esperti o esitanti, mezzi lunghi e corti, etc…). Con i modelli microscopici è più facile tenere conto della grande varietà di tipologie di veicoli e delle piccole fluttuazioni dovute a effetti casuali. D’altra parte, più scendiamo nel dettaglio e più i modelli sono difficili da calibrare sui dati sperimentali. Quello che succede è che i dati che emergono al livello di questo regime microscopico — la vecchietta che si è fatta venire un colpo sulle strisce, il tizio che va contromano, la bambina che ha vomitato, il pensionato che procede a venti all’ora — sono difficili da considerare e forse non influiscono poi csì tanto, magari alla fin fine si mediano nel comportamente automatico che ci spinge a guidare, quasi tutti, seguendo il flusso e il buon senso.

Questo tipo di nodi modellistici — micro/macro, discreto/continuo — è difficile da sciogliere e spesso ha soluzione solo in situazioni molto ben determinate. Su un singolo incrocio forse è meglio micro, su una rete di 6500 archi come quella di Roma, allora forse è meglio macro. In generale, i matematici propongono delle ipotesi di lavoro, che magari colgono solo una parte della complessità del problema, e poi cercano di capire se il fenomeno che vogliono descrivere è catturato o meno da queste ipotesi. Fourier ha ipotizzato che il calore si propagasse come un fluido continuo attraverso i vari mezzi. In realtà non è vero, il fenomeno è molto più complesso, ma l’equazione che lo descrive, chiamata appunto equazione del calore, è molto accurata se confrontata con i dati sperimentali. La stessa cosa accade con le equazioni di Eulero dei gas comprimibili, in cui si considera l’evoluzione della densità di un gas, mentre in realtà quello che succede è l’evolversi di un’enorme quantità di molecole, un numero talmente elevato che nessun computer umanamente concepibile potrebbe mai simularlo. In questi casi è chiaro che il modello “macroscopico” è più naturale rispetto al corrispondente modello discreto. Il caso del traffico è però diverso. In questo caso le “particelle”(=veicoli) coinvolte sono decine di migliaia, per una città come Roma magari qualche milione, ma insomma, quantità ben distinte e separabili, tracciabili individualmente, non impossibili da simulare. E poi che cos’è questa velocità media che appare nel fluido? È la media delle velocità medie delle macchine in un certo intervallo di tempo e su un certo determinato tratto di strada? E questo intervallo e questo tratto di strada quanto devono essere grandi? Abbastanza perché ci si trovi almeno qualche macchina, ma non troppo grandi, per evitare di mediare eccessivamente i dati, diciamo, ma poi in pratica quanto abbastanza? Parliamo di 10 metri o di 1 Km? Insomma, solo l’ambito applicativo e soprattutto l’analisi dei dati sperimentali, confrontati con i risultati delle simulazioni, può aiutarci a decidere quale delle due teorie sia più utile e in quali situazioni.

Ed eccomi qui, sul bordo della strada, con questo cavolo di Autovelox che fa “blink!” ogni volta che rileva una macchina. Ora ne è passata una che andava a 90 Km/h, poi una che andava a 30. Una Cinquecento ha superato una BMW. Un camion con rimorchio seguito da una vespa hanno creato fluttuazioni impreviste. Una volante della stradale mi supera e accosta. L’aggeggio fa blink a ripetizione, mentre il poliziotto scende e mi viene incontro. Deglutisco e provo una forte invidia per i fisici che misurano la velocità dei neutrini…

 

di Roberto Natalini